Aussagenlogik

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Die Aussagenlogik ist ein Zweig der formalen Logik, der die Beziehungen zwischen Aussagen und Aussagenverbindungen untersucht.

Aussagen sind abstrakte Begriffe, die auch Propositionen genannt werden und in der Alltagssprache durch Sätze ausgedrückt werden. Dabei kommt es in der Aussagenlogik nicht auf den konkreten Inhalt der Aussagen an, sondern nur auf die Entscheidbarkeit, ob eine Aussage wahr oder falsch ist.

Aussagenvariablen und deren Verknüpfungen

Die Buchstaben a, b, . . . (bzw. gelegentlich auch A, B, . . .) repräsentieren die Aussagen. Diese werden als Aussagenvariablen bezeichnet.

Einfache Aussage - Elementaraussage

Eine Aussage A ist ein Satz, der entweder wahr (w, wahr, true, 1) oder nicht wahr (f, falsch, false, 0) ist.

Verneinte Aussage - Negation

Ist A eine Aussage, dann ist die Negation $\neg A$ wahr, wenn A falsch ist, und falsch, wenn A wahr ist.

$A$	$\neg A$
falsch	wahr
wahr	falsch

Und-verknüpfte Aussagen - Konjunktion

Sind A und B zwei Aussagen, dann ist die Konjunktion $A \and B$ eine wahre Aussage genau dann, wenn sowohl A als auch B wahr ist. Andernfalls ist sie falsch. Dem entspricht folgende Wahrheitstabelle:

$A$	$B$	$A \and B$
wahr	wahr	wahr
falsch	wahr	falsch
wahr	falsch	falsch
falsch	falsch	falsch

Nichtausschließendes Oder – Disjunktion

Eine Disjunktion ist eine zusammengesetzte Aussage, die behauptet, dass mindestens eine ihrer Teilaussagen wahr ist.

Die Aussage $A \vee B$ ist immer dann wahr, wenn mindestens eine der Teilaussagen A oder B wahr ist, bzw. wenn beide Teilaussagen wahr sind. Andernfalls ist $A \vee B$ falsch, nämlich dann, wenn sowohl A als auch B falsch sind. Dem entspricht folgende Wahrheitstabelle:

$A$	$B$	$A \vee B$
wahr	wahr	wahr
falsch	wahr	wahr
wahr	falsch	wahr
falsch	falsch	falsch

Subjunktion

Die Subjunktion zweier Aussagen $A \rightarrow B$ ist genau dann falsch, wenn A wahr und B falsch ist. Dem entspricht folgende Wahrheitstabelle:

$A$	$B$	$A \rightarrow B$
falsch	falsch	wahr
falsch	wahr	wahr
wahr	falsch	falsch
wahr	wahr	wahr

Bijunktion

Die Bijunktion zweier Aussagen $A \leftrightarrow B$ ist genau dann wahr, wenn A und B wahr oder A und B falsch sind. Dem entspricht folgende Wahrheitstabelle:

$A$	$B$	$A \leftrightarrow B$
falsch	falsch	wahr
falsch	wahr	falsch
wahr	falsch	falsch
wahr	wahr	wahr

Erfüllbarkeit, Tautologie und Kontradiktion

Erfüllbare Aussagen

Eine Aussageform A heißt erfüllbar, wenn es mindestens eine Interpretation der in ihr vorkommenden Satzbuchstaben gibt, unter der die Aussage wahr ist.

Unerfüllbare Aussagen

Eine Aussageform A heißt unerfüllbar oder Kontradiktion, wenn sie unter allen Interpretationen der in ihr vorkommenden Satzbuchstaben falsch ist. Mit anderen Worten, eine Kontradiktion ist eine Aussage, die immer den Wahrheitswert falsch annimmt, unabhängig davon, wie die Variablen in der Aussage belegt sind.

Tautologie

Eine Aussagenverbindung ist eine Tautologie, wenn sie unabhängig von der Belegung mit Wahrheitswerten stets wahr ist.

Beweis:

$A$	$\neg A$	$A \and \neg A$
wahr	falsch	wahr
falsch	wahr	wahr

Gesetze der Aussagenlogik

Kommutativgesetze

$A \vee B$ = $B \vee A$

$A B$ = $B A$

Doppelte Negation

$\neg\neg A = A$

Assoziativgesetze

$A\wedge\left(B\wedge C\right)=\left(A\wedge B\right)\wedge C$

$A\vee\left(B\vee C\right)=\left(A\vee B\right)\vee C$

Kommutativgesetze

$A\wedge B=B\wedge A$

$A\vee B=B\vee A$

Distributivgesetze

$A\wedge\left(B\vee C\right)=\left(A\wedge B\right)\vee\left(A\wedge C\right)$

$A\vee\left(B\wedge C\right)=\left(A\vee B\right)\wedge\left(A\vee C\right)$

Idempotenzgesetze

$A\wedge A=A$

$A\vee A=A$

Absorptionsgesetze

$A\wedge\left(A\vee B\right)=A$

$A\vee\left(A\wedge B\right)=A$

De Morgansche Gesetze

$\neg\left(A\wedge B\right)=\neg A\vee\neg B$

$\neg\left(A\vee B\right)=\neg A\wedge\neg B$

Kontraposition

$A\rightarrow B=\neg B\rightarrow\neg A$

Weitere Regeln

$A\rightarrow B=\neg A\vee B$

$A\leftrightarrow B=\left(A\rightarrow B\right)\wedge\left(B\rightarrow A\right)$

Logische Äquivalenz

Die Logische Äquivalenz beschreibt den Werteverlaufsgleichheit von Aussagen. So sind zwei Aussagen A, B der klassischen Aussagenlogik genau dann logisch äquivalent, wenn die Wahrheitstabelle der beiden Aussagen gleich ist.

Beispiel:

Sei

$A(a,b,c) = (a \and b) \vee c$

und

$B(a,b,c) = (a \vee c) \and (b \vee c)$

dann gilt: $A$ ist logisch äquivalent zu $B$ .

Schreibweise in der Mathematik:

$A \Leftrightarrow B$

Quellen

Prof. Dr. Schneller Walter, Vorlesungsskript

Wikipedia.de

Hartmann, Peter; Mathematik für Informatiker, Vieweg Verlag 2003, ISBN 3-528-13181-0

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Seitenkategorien: Mathematik für Wirtschaftsinformatiker

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