Integralrechnung

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Die Integralrechung wird im Rahmen der Vorlesung Mathematik für Wirtschaftsinformatiker behandelt.

Das Integral ordnet einer Funktion für einen gegebenen Integrationsbereich einen Zahlwert zu. Dieser Vorgang heißt Integration.

Das Integral wird in einem zweidimensionalen Koordinatensystem als die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion und der Abszisse, bei Funktionen mit mehreren Variablen entsprechend als Volumen interpretiert.

Der Inhalt der Vorlesung ist jedoch zu komplex, um ihn hier vollständig wiederzugeben.

Deshalb werden hier nur kurz die wichtigsten Begriffe aufgeführt.

Anschliessend wird anhand von 2 kommentierten Beispielen gezeigt, wie man Integrale lösen kann.

Inhaltsverzeichnis

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Das Riemannsche (bestimmte) Integral

Das Riemannsche Integral \int_{a}^{b} f(x)\, dx

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Intervalladditivität

Für \, a < b < c lassen sich Integrale addieren:

\int_{a}^{c} f(x)\, dx = \int_{a}^{b} f(x)\, dx + \int_{b}^{c} f(x)\, dx


Für den Fall a = b gilt:

\int_{a}^{a} f(x)\, dx = 0


\int_{a}^{b} f(x)\, dx = -\int_{b}^{a} f(x)\, dx

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Stammfunktionen

Wenn man nun eine der Integrationsgrenzen a,b nicht festlegt, sondern variabel hält, lassen sich neue Funktionen definieren:


So gilt für eine auf \left[a,b\right] stetige Funktion f, ein festes x_0\in [a,b] und ein x\in [a,b]:

\,F(x)= \int_{x_0}^{x} f(t)\, dt

Obige Funktion \,F ist differenzierbar. Ihre Ableitung ist \,F' = f.

Eine solche Funktion \, F mit \, F'=f nennt man eine Stammfunktion von \, f.

Eine Stammfunktion deshalb, weil für jede Funktion \, F immer eine Funktion

\,G mit \,G(x)=F(x) + c

für alle \,x und beliebige \,c definiert werden kann, die ebenfalls als Stammfunktion zu \,f aufgefasst werden kann. Somit können unendlich viele Stammfunktionen zu einer Funktion \,f existieren.

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Unbestimmte Integrale

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Zusammenhang zwischen Stammfunktionen und Integralen

Dieser Zusammenhang zwischen Stammfunktionen und Integralen lässt sich wie folgt darstellen:

Ist f:[a,b]\to R stetig, so ist die Menge der Stammfunktionen von \,f der durch

F(x) = \int_{x_0}^{x} f(t)\, dt + c

gegebenen Funktionen F:[a,b]\to R. Dabei sind x_0\in [a,b] und c\in \mathbb{R} beliebig.

Diese Menge der Stammfunktionen nennt man das unbestimmte Integral von f.

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Schreibweise

Für das unbestimmte Integral wird folgende Schreibweise benutzt:


\int_{}^{} f(x)\, dx

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Hauptsatz der Differential- und Integralrechung

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechung besagt folgendes:

Ist \,F eine beliebige Stammfunktion von \,f, so gilt:

F(b) - F(a) = (\int_{x_0}^{b} f(x)\, dx + c) - (\int_{x_0}^{a} f(x)\, dx + c)=(\int_{x_0}^{b} f(x)\, dx) - (\int_{x_0}^{a} f(x)\, dx) = \int_{a}^{b} f(x)\, dx )

oder auch kürzer: 

\int_{a}^{b} f(x)\, dx = F(b) - F(a)

Für \,F(b) - F(a) lässt sich auch F(x)|_a^b oder [F(x)]_a^b schreiben.


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Integrationsmethoden für zusammengesetzte Funktionen

Zusammengesetze Funktionen lassen sich nicht nach so einfachen Regeln integrieren wie bei der Differentiation. Ausnahmen bilden hier nur, wie oben gezeigt, Additionen und Subtraktionen.

Für Quotienten gibt es keine allgemeinen Regeln.

Für Produkte gilt die Produktregel:

\int_{}^{} f'(x) g(x)\, dx = f(x) g(x) - \int_{}^{} f(x) g'(x)\, dx für stetig differenzierbare f,g.

Es bietet sich an, Stammfunktionen in entsprechenden Tabellen nachzuschlagen.

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Regel zur partiellen Integration

Parser-Fehler (Das texvc-Programm kann nicht gefunden werden. Bitte beachten Sie math/README.): \int_{a}^{b} f'(x) g(x)\, dx = [f(x) g(x)]_a^b - \int_{a}^{b} f(x) g'(x)\, dx = f(b)g(b) - (f(a)g(a) - \int_{a}^{b} f(x) g'(x)\, dx


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Uneigentliche Integrale

werden bei Wikipedia besser beschrieben.

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Mehrfachintegrale

Mehrfachintegrale sind Integrale, die von mehreren Variablen abhängen:

\int_{-1}^{2} (x + 2y)^2\, dx

Das Differentialsymbol \, d zeigt an, nach welcher Variablen integriert wird. In obigem Beispiel ist dies \, dx. Es wird also nach \,x integriert.

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Beispiel

\int_{-1}^{2} (x + 2y)^2\, dx \;dy wird zuerst nach \,dx und dann nach \,dy integriert:

Nach \, dx: \begin{matrix}\int_{-1}^{2} (x + 2y)^2\, dx &=& \int_{-1+2y}^{2+2y} x^2\, dx &=& \frac{x^3}{3}|_{-1+2y}^{2+2y}&=&\frac{1}{3}((2+2y)^3 - (-1+2y)^3)\\ \ &=& \frac{1}{3}(36y^2 +1 18y + 9) &=& 3(4y^2+2y+1)\end{matrix}


Nach \, dy:

\begin{matrix}\int_{-1}^{2} (x + 2y)^2\, dy &=& \frac{1}{2}\int_{2*0}^{2*3} (x + y)^2\, dy &=& \frac{y^3}{3}|_{-x}^{x+6}&=& \frac{1}{6}((x+6)^3-x^3)\\ \ &=& \frac{1}{6}(18x^2+108x+216) &=& 3(x^2+6x+12)\end{matrix}

Alles klar?

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Beispiele zum Lösen von Integralen

Obige Integrale lassen sich natürlich nochmal integrieren. In fast allen alten Klausuren wurde dies auch verlangt.

Also gibt's dazu kommentierte Beispiele:

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Beispiel mit der e-Funktion

\int_{0}^{1}\int_{-x}^{2x} 4^x e^y\, dy \;dx

Es liegen ein sogenanntes Doppelintegralvor. Dieses besteht aus zwei Integralen, einem inneren und einem äusseren.

Die Angaben \, dy \, dx bedeuten, daß zuerst nach \, dy und dann das verbliebene Integral nach \, dx abzuleiten ist.

Das innere Integral ist das, welches die Variable y enthält: \int_{-x}^{2x} e^y\, dy

Zu diesem inneren Integral mit der Funktion \,e^y benötigen wir nun die Stammfunktion.

Da die Ableitung \,{e^y}' = e^y ist, ergibt dies:

\int_{-x}^{2x} e^y\, dy = e^y|_{y=-x}^{y=2x}

Dieser Ausdruck wird in unser Beispiel eingesetzt: 

\int_{0}^{1}\int_{-x}^{2x} 4^x e^y\, dy \;dx =\int_{0}^{1} 4^x \;e^y|_{y=-x}^{y=2x}\, \;dx

Mit obigem Hauptsatz \,F(b)-F(a) mit \, F = e, \, b = - x und \, a = 2x wird daraus bei uns:

\,e^{2x}-e{2x}.

Zusammen ergibt dies: 

=\;\int_{0}^{1} 4^x \;(e^{2x}-e^{-x})\, \;dx

Nun "ausmultiplizieren": 

=\;\int_{0}^{1} (4^xe^{2x}-4^x e^{-x})\, \;dx

Der Teil \, e^{2x} ist noch sehr unschön, schliesslich soll ja nach x integriert werden.


Mit Hilfe von a^x = e^{x \;\ln a}, bei uns also 4^x=e^{x \;\ln4}, ergibt dies: 


=\;\int_{0}^{1} e^{x \;\ln 4}\; e^{2x} \;-\; e^{x \;\ln 4} \;e^{-x} \, \;dx

Aus e^{x} \; e^{y} = e^{x+y}, bei uns also e^{x \;\ln 4}\; e^{2x} = e^{x \;\ln 4 \;+\;2x}, ergibt sich: 

\int_{0}^{1} (e^{x \;\ln 4 \;+\;2x} -e^{x \;\ln 4 \;-\;x}) \, \;dx

Dies kann man in zwei Integrale aufteilen: 

\int_{0}^{1} e^{x \;\ln 4 \;+\;2x} \, \;dx - \int_{0}^{1} e^{x \;\ln 4 \;-\;x} \, \;dx

Nun müssen wir zu den beiden e-Funktionen e^{x \;\ln 4 \;+\;2x} und e^{x \;\ln 4 \;-\;x} die jeweiligen Stammfunktionen suchen:

Also diejenige Funktion \,F, deren Ableitung F'=e^{x \;\ln 4 \;+\;2x} bzw. F'=e^{x \;\ln 4 \;-\;x} ist.

Da für die e-Funktion \, e^x gilt: \,{e^x}' = e^x, benötigen wir nach der Kettenregel also noch die innere Ableitung:

\, (u*v)=u'*v*v'.


Für e^{x \;\ln 4 \;+\;2x} also:


({e^{x \;\ln 4 \;+\;2x}})' = \frac{1}{\ln 4 +2x} * ({x \ln 4 +2x}) *e^{x \ln 4 +\;2x}= \frac{e^{x \ln 4 +\;2x}}{\ln 4 +2x}

Analog dazu: 

({e^{x \ln 4 -x}})'= \frac{e^{x \ln 4 -\;1}}{\ln 4 -1}.

Ergibt zusammen: 

={\frac{e^{x \ln 4 +\;2x}}{\ln 4 +2}}|_0^1 -  {\frac{e^{x \ln 4 -\;1}}{\ln 4 -1}}|_0^1

Jetzt nur noch auflösen: 

=\left({\frac{e^{1* \ln 4 +\;2*1}}{\ln 4 +2}} - {\frac{e^{0* \ln 4 +\;2*0}}{\ln 4 +2}}\right)-\left( {\frac{e^{1* \ln 4 -\;1}}{\ln 4 -1}} - {\frac{e^{0* \ln 4 -\;1}}{\ln 4 -1}}\right)

In beiden Klammern wird der Subtrahend wegen e0 = 1 immer 1: 

=\left({\frac{e^{1* \ln 4 +\;2*1}}{\ln 4 +2}} - {\frac{e^{0}}{\ln 4 +2}}\right)- \left( {\frac{e^{1* \ln 4 -\;1}}{\ln 4 -1}} - {\frac{e^{0}}{\ln 4 -1}}\right)



=\left({\frac{e^{1* \ln 4 +\;2*1}}{\ln 4 +2}} - {\frac{1}{\ln 4 +2}}\right)- \left( {\frac{e^{1* \ln 4 -\;1}}{\ln 4 -1}} - {\frac{1}{\ln 4 -1}}\right)

Um die Übersichtlichkeit zu erhöhen, kann man jetzt in den Exponenten die 1 jeweils entfernen: 

=\left({\frac{e^{\ln 4 +\;2}}{\ln 4 +2}} - {\frac{1}{\ln 4 +2}}\right)- \left( {\frac{e^{1* \ln 4 -\;1}}{\ln 4 -1}} - {\frac{1}{\ln 4 -1}}\right)

Die Klammerausdrücke lassen sich jeweils wegen der Gleichheit der Nenner noch zusammenfassen: 

=\left({\frac{e^{\ln 4 +\;2}-1}{\ln 4 +2}} \right)- \left( {\frac{e^{1* \ln 4 -\;1}-1}{\ln 4 -1}} \right)

Dieses in den Taschenrechner eingeben, und schon erhält man das Ergebnis: 

\approx 7,21226

Und schon ist das erste Integral gelöst.


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Beispiel mit 2 Variablen

\int_{1}^{2}\int_{2/x}^{5x} 4x^2 y^2\, dy \;dx

Da \, 4 als Konstante anzusehen ist, lässt sie sich vor den ganzen Ausdruck setzten: 

4*\int_{1}^{2}\int_{2/x}^{5x} x^2 y^2\, dy \;dx.

Ein inneres Integral mit 

\int_{2/x}^{5/x} y^2\, dy

und einer dazu passenden Stammfunktion \frac{y^3}{3} mit (\frac{y^3}{3})' = y^2 ergibt: 

4*\int_{1}^{2} x^2 * {\frac{y^3}{3}}|_{2/x}^{5x} \, \;dx


Nun lässt sich das innere Integral auflösen:

{\frac{y^3}{3}}|_{2/x}^{5x} = {\frac{(5x)^3}{3}}-{\frac{{(2/x)}^3}{3}}

und einsetzen: 


4*\int_{1}^{2} x^2 * {\frac{y^3}{3}}|_{2/x}^{5x} \, \;dx = 4*\int_{1}^{2} x^2 * \left( {\frac{(5x)^3}{3}}-{\frac{{(2/x)}^3}{3}}\right) \, \;dx



= 4*\int_{1}^{2} x^2 * \left( {\frac{125x^3}{3}}-{\frac{{2^3/x^3}}{3}}\right) \, \;dx

= 4*\int_{1}^{2} x^2 * \left( {\frac{125}{3}}x^3-{\frac{8}{3}x^{-3}}\right) \, \;dx

Nun das \, x^2 mit in den Klammerausdruck übernehmen: 

= 4*\int_{1}^{2} \left( {\frac{125}{3}}x^3*x^2-{\frac{8}{3}x^{-3}*x^2}\right) \, \;dx

und zusammenfassen: 

= 4*\int_{1}^{2} \left( {\frac{125}{3}}x^5-{\frac{8}{3}x^{-1}}\right) \, \;dx



= 4* \left(\int_{1}^{2} {\frac{125}{3}}x^5 \, \;dx - \int_{1}^{2}{\frac{8}{3}x^{-1}}\, \;dx \right)

Das linke Integral \int_{1}^{2} {\frac{125}{3}}x^5 \, \;dx wird gelöst: 

\int_{1}^{2} {\frac{125}{3}}x^5 \, \;dx = {\frac{125}{3}}\int_{1}^{2} x^5 \, \;dx

Eine Stammfunktion zu \,x^5 ist \frac{x^6}{6} mit (\frac{x^6}{6})' = x^5: 

= {\frac{125}{3}}\int_{1}^{2} x^5 \, \;dx = {\frac{125}{3}}* {\frac{x^6}{6}}|_1^2

={\frac{125}{3}}* \left({\frac{2^6}{6}}-{\frac{1^6}{6}} \right) = {\frac{125}{3}}* \frac{63}{6}


Das rechte Integral \int_{1}^{2}{\frac{8}{3}x^{-1}}\, \;dx wird gelöst: 

\int_{1}^{2}{\frac{8}{3}x^{-1}}\, \;dx = \frac{8}{3} \int_{1}^{2}{x^{-1}}\, \;dx

Da \, x^{-1} die Ableitung von {\ln \; {x}} ist, ergibt sich: 

= \frac{8}{3}* \ln x |_{1}^{2} = \frac{8}{3}* \left(\ln {2} - \ln {1}\right)

Aus \ln \;{1}=0 ergibt sich: 

=\frac{8}{3}* \ln {2}


Beide Integrale zusammen bilden dann: 

\Rightarrow 4* \left(\int_{1}^{2} {\frac{125}{3}}x^5 \, \;dx - \int_{1}^{2}{\frac{8}{3}x^{-1}}\, \;dx \right)= 4*\left[\left( {\frac{125}{3}}* \frac{63}{6}\right) - \left( \frac{8}{3}* \ln {2}\right) \right]

In den Taschenrechner eingegeben, ergibt dies: 

\approx 1.742,6064

Fertig.

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Weblinks


Wikipedia zur Integralrechnung

Tabelle der Stammfunktionen

Von "http://www.iwiki.de/wiki/index.php/Integralrechnung"