Lineare Algebra

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Die Lineare Algebra (auch Vektoralgebra) befasst sich mit Vektorräumen und linearen Abbildungen. Dieser Zweig der Mathematik beschäftigt sich hauptsächlich mit der systematischen Ermittlung und Darstellung der Lösungsmengen von Gleichungen. Dies schließt auch die Betrachtung und Berechnung von Matrizen mit ein.

Inhaltsverzeichnis

1 Lineare Gleichungen und Vektoren
2 Lineare Gleichungen und Matrizen
3 Lineare Gleichungen ohne eindeutige Lösung
4 Matrizenmultiplikation
5 Quellen

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Lineare Gleichungen und Vektoren

Lineare Gleichungen bestehen immer aus gegebenen (Koeffizienten) und gesuchten Zahlen (Unbekannten).Für die Benennung der Unbekannten, wählt man unterschiedliche Buchstaben (in der Regel x,y,z). Beispiele für lineare Lösungssysteme:

$3 x = 2,$

$2 x + 5 y = 0,$

$- 5 x + y + 5 z = 4,$

$\sum_{j=1}^{10} jx_{j}$

Daraus folgt z.B. dann für die erste Gleichung x = 2/3

Die erhaltene Gleichung nennt man auch Geradengleichung. Durch Einsetzen geeigneter Werte für x kann man nun bestimmte Werte für y ermitteln und anschließend eine Gerade durch diese beiden Punkte im Koordinatensystem ziehen. Die Gerade dient als Veranschaulichung der erhaltenen Lösungsmenge.

Ein Vektor ist ein Element eines Vektorraumes, das mit anderen Elementen eines Vektors addiert werden kann. Auch eine Multiplikation mit einem Skalar ist möglich. Zudem sind Vektoren n-Tupel, das heißt, dass seine Elemente in einer bestimmten Reihenfolge angeordnet sein müssen. Dies ist zugleich die Abgrenzung zu dem Begriff Menge, bei dem die Reihenfolge der Elemente unerheblich ist und diese auch mehrfach vorkommen können. Um einen „Ortsvektor“ darzustellen, beispielsweise P (2/3) in einem Koordinatensystem, verwendet man in der Regel die Spaltenschreibweise. Um jetzt zum Beispiel ein Dreieck ABC in der Figur an eine neue Position A'B'C' zu verschieben, muss jeder einzelne Punkt um 2 Einheiten nach rechts und 3 nach oben verschoben werden. Er bewegt sich dabei längs eines Pfeils $\vec v$ .

v= ${2 \choose 3}$

Teilweise werden die Vektoren statt in Spalten- auch in Zeilenschreibweise dargestellt, was die Lesbarkeit und die Anwendung von Rechenoperationen jedoch erschwert. Auf einen Vektor können verschiedenen Rechenoperationen angewandt werden. Vektoraddition:

$v_{1}={1 \choose 2}+v_{2}={2 \choose 3}\rightarrow v_{1}+v_{2}={{1+2} \choose {2+3}}$

Die Vektoraddition wird also durch das Aneinanderreihen der einzelnen Pfeile dargestellt. Ebenso verhält es sich bei der Subtraktion. Vektormultiplikation:

$V={{3*2} \choose {3*3}} = {{2+2+2} \choose {3+3+3}} = {6 \choose 9}$

Ebenso verhält es sich bei den Geradengleichungen. So kann die Gleichung 2x + 5y = 1 wie folgt aufgelöst werden:

$y = - {2 \over 5}x+ {1 \over 5}$

Daraus resultiert nun, dass die Gerade eine Steigung von -2/5 hat und die Senkrechte im Punkt 1/5 schneidet. Auch diesen Sachverhalt kann man gut mit Hilfe eines Vektors darstellen und bekommt anschließend einen Richtungsvektor. Aus einer linearen Gleichung mit zwei Unbekannten resultiert stets eine Gerade, es sei den beide Koeffizienten sind Null. Ist die rechte Seite der Gleichung Null, dann handelt es sich um eine so genannte Ursprungsgerade, die durch den Nullpunkt geht.

Neben dem Fall, dass es zwei Unbekannte innerhalb einer Gleichung gibt, kann auch der Fall eintreten, dass es drei unbekannte Werte zu ermitteln gilt.

Diese Darstellung und Berechnung geschieht im Prinzip wie zwei Unbekannten. Die Vektorsummen bilden hierbei eine Ursprungsebene.

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Lineare Gleichungen und Matrizen

Ein lineares Gleichungssystem ist ein System, das aus mehreren linearen Gleichungen besteht, die ihrerseits wiederum mehrere Unbekannte enthalten. Beispiel:

$3 x + 5 y = 0,$

$1 x - 1 y + 7 z = 1,$

$2 x + 1 z = 2$

Um nun ein solches System sinnvoll auflösen zu können haben sich verschiedene Verfahren entwickelt. Ein weit verbreitetes ist das Einsetzungsverfahren. Bei diesem Verfahren sucht man sich eine Variable und löst das System nach dieser auf. Das Ergebnis für diese Variable wird dann in die vorhandene Gleichung eingesetzt. Somit hat man schon einmal eine Unbekannte weniger. Bei komplexeren oder auch nichtlinearen Systemen kann dieses Verfahren jeden schnell zu Unübersichtlichkeit führen. Außerdem sollte man immer die Probe machen, ob sich das errechnete Endergebnis auch den Umkehrschluss zulässt. Dazu setzt man die Lösung in das ursprüngliche System ein. Im Gegensatz dazu hat dieses Verfahren den Vorteil, dass es leicht zu erlernen ist und sowohl auf lineare als auch auf nichtlineare Gleichungssysteme anwendbar ist.

Eine sinnvollere Methode ist deshalb das Additionsverfahren.

Auch wenn das Verfahren teilweise etwas unübersichtlich und langatmig wirkt, so muss man doch erkennen, dass das System durch das Eliminieren von Zahlen schnell und sauber gelöst werden kann, ohne das langwierig umgeformt und eingesetzt werden muss. Im Endeffekt ändern sich nur der Wert und die Vorzeichen der Zahlen im Gleichungssystem.

Man kann das Gleichungssystem für die Berechnung wie oben gezeigt darstellen, oder in Form von so genannten Matrizen. Eine Matrix ist die Anordnung von Zahlenwerten oder anderen mathematischen Objekten in Tabellenform. Man unterscheidet zudem zwischen der erweiterten (inhomogenen) Koeffizientenmatrix, Beispiel:

$\begin{pmatrix} 3 & 5 & 0 & \mid & 0 \\ 1 & -1 & 7 & \mid & 1 \\2 & 0 & 1 & \mid & 2 \end{pmatrix}$

und der unerweiterten (homogenen) Koeffizientenmatrix, bei der rechts nur Nullen stehen. Dieses System wird oft ausgerechnet, bevor man sich an das dazugehörige inhomogene System wagt, da man somit eine allgemeine Lösung erhält. Zudem sind diese Systeme immer lösbar und somit leichter zu handhaben. Beispiel:

$\begin{pmatrix} 3 & 5 & 0 \\ 1 & -1 & 7 \\2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Generell werden Matrizen mit Großbuchstaben benannt. Die einzelnen Zahlen werden je nach Bedarf Elemente oder Komponenten genannt. Auch bei den Matrizen werden verschiedenen Typen unterschieden:

Quadratische Matrizen:

$\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2\end{pmatrix}$

Dreiecksmatrizen (gleichzeitig quadratische Matrizen):

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 0 & 2 & 8 \\ 0 & 0 & 9\end{pmatrix}$

Diagonalmatrizen:

$\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$

Nullmatrix: Besteht nur aus Nullen, gilt aber dennoch als Zeilenstufenmatrix.

Zeilenstufenform: Man beginnt ab der obersten Zahl in der Matrix eine Stufe nach unten zu bilden. Unterhalb dieser „Treppe“ müssen Nullen stehen. Die Stufen bilden so zu sagen die Grenze zwischen den Zahlenwerten und den Nullen. Die einzelnen Stufen müssen gleich hoch sein. Dies gilt jedoch nicht für die Breite der Stufen, diese kann von Absatz zu Absatz variieren. Auch oberhalb der Stufen dürfen Nullen stehen, allerdings niemals am Anfang einer Stufe. Sollte es eine reine Nullzeile geben, so muss diese stets am unteren Ende der Stufe stehen. So eine Nullzeile kann auftreten, ist aber kein Muss. Für eine Matrix der Form m x n gilt:

Anzahl der Zeilen, die nicht nur Nullen darstellen <= m

Anzahl der Zeilen, die nicht nur Nullen darstellen <= n

$\rightarrow$ Die Matrix ist quadratisch und ist von Zeilenstufenform $\rightarrow$ Dreiecksmatrix

Um nun eine Matrix aufzulösen gibt es verschiedenen Möglichkeiten: Entweder man multipliziert eine Zeile mit einer Zahl ungleich Null, oder man addiert verschiedenen Zeilen miteinander. Ziel ist es immer, einzelne Werte zu eliminieren und somit die Matrix nach einem bestimmten Wert aufzulösen. In der Regel versucht man, die linke untere Seite, bis auf einen Wert, auf Nullen zu setzen um dann so durch Division auf den Wert der gewünschten Variable zu kommen. Das Gaußverfahren funktioniert im Prinzip analog. Auch hier sollen durch eine gezielte Multiplikation von Zahlenwerten, einzelnen Zahlenwerte eliminiert werden. Wichtig ist, dass nicht nur der zu elimierende Zahlenwert, sondern die ganze Zeile mit dem entsprechenden Wert multipliziert oder dividiert werden muss. Zudem besteht die Möglichkeit, die Zeilen zu tauschen. Am Ende sollte wieder eine Zeile rauskommen, in auf der linken Seite bis auf eine Zahl nur noch Nullen stehen, um dann die gewünschte Unbekannte errechnen zu können. Die beiden weiteren Werte werden anschließend durch das Einsetzungsverfahren ermittelt.

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Lineare Gleichungen ohne eindeutige Lösung

Neben der Tatsache, dass die Lösungsmenge trotz m = n leer sein kann, kann auch der Fall eintreten, dass ein Lösungssystem gar nicht lösbar ist. Leider kann man nicht anhand der Anzahl der Unbekannten auf die Lösbarkeit eines Systems schließen. So kann beispielsweise ein System mit wenigen Unbekannten unlösbar sein, dafür ein komplexes System mit vielen Unbekannten eine eindeutige Lösung haben. Natürlich ist es aber so, dass sich in einem komplexen System viel besser Fehler und Widersprüchlichkeiten einschleichen bzw. verstecken können. Ein Indikator für die Unlösbarkeit eines Gleichungssystems ist aber die Tatsache, dass die erweiterte Koeffizientenmatrix nach der Überführung in die Zeilenstufenform weniger Nullzeilen hat, als die reine Koeffizientenmatrix.

Aber auch das Gegenteil kann der Fall sein, nämlich das ein System keine eindeutige, d.h. unendlich viele Lösungen hat.

Solch unendlich viele Lösungen resultieren oft aus der Tatsache, dass die Stufen der Zeilenstufenform nicht alle dieselbe Breite haben. Da dies jedoch nicht im Voraus zu sagen ist, kann man auch nicht im Voraus sagen, wie viele Lösungen ein System haben wird. Egal nach welcher der Variablen man auch auflöst, man wird immer auf unendlich viele Lösungen kommen. Daher hat die Lösungsmenge immer die Form

$L = u + R v + R w$

Dabei darf keiner der drei Vektoren u, v und w der Nullvektor sein.

Mengen die die oben genannte Form haben, und bei denen keine Vereinfachung möglich ist, sind immer Geraden und Ebenen. Da eine Ebene zweidimensional aufgebaut ist, werden ihre Punkte immer als Koordinaten bezeichnet und beschrieben.

Eine allgemeingültige Lösung bei so einer Art von System gibt es nicht, da die Lösung immer vom verwendeten Rechenweg abhängt.

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Matrizenmultiplikation

In der Praxis werden nicht nur Matrizen umgeformt, sondern man möchte in der Regel auch mit mehreren Matrizen Berechnungen durchführen. Die Matrizen haben wiederum dieselbe Form wie die Vektoren. Beispiel:

$\begin{pmatrix} 4 & 6 & -3 & 0 \\ 0 & 5 & 0 & 1 \\ -1 & 2 & 0 & 7\end{pmatrix}$

Wie bei normalen und auch vektoriellen Berechnungen können die allgemeinen Rechenregeln bei der Addition und Subtraktion problemlos angewandt werden. Hierzu zählen Assoziativgesetz, Kommutativgesetz und Distributivgesetz.

Die Multiplikation von Matrizen ist anfangs nicht ganz einfach und etwas gewöhnungsbedürftig. Beispiel:

$\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 5 & 6 & 7\\ 8 & 9 & 10\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1*5+2*8 & 1*6+2*9 & 1*7+2*10\\ 3*5+4*8 & 3*6+4*9 & 3*7+4*10\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 21 & 24 & 27\\ 47 & 54 & 61\end{pmatrix}$

Grundsätzlich gilt: $A * B = C$ Dabei ist es für die Multiplikation unwichtig wie viele Zeilen A hat und wie viele Spalten B hat. Jedoch hängt das Aussehen vom der Ergebnismatrix C maßgeblich davon abhängig. Die Schwierigkeit beim Multiplizieren von Matrizen besteht darin, dass man besonders ab einer gewissen Größe, schnell den Überblick verlieren und sich leicht verrechnen kann. Deshalb empfiehlt es sich teilweise Hilfsstriche zu ziehen, bzw. die einzelnen Teilrechnungen auf einem Schmierblatt durchzuführen.

Auch auf für die Matrizenmultiplikation gelten wieder verschiedene Assoziativ- und Distributivgesetze. Allerdings gilt das Kommutativgesetz hier ausdrücklich nicht! Siehe obiges Beispiel.

Man kann sagen, dass das Produkt von AB eine m x n-Matrix ist, aber das Produkt von BA ist eine n x n-Matrix. Dieser Sachverhalt ergibt sich aus der unterschiedlichen Anordnung der Zeilen und Spalten, wenn man die Reihenfolge der Matrizen A und B vertauscht. Nur wenn bei A und B m = n gilt, ist diese Tatsache vernachlässigbar. Das Ergebnis einer Matrizenmultiplikation muss der erste Faktor genau so viele Zeilen haben, wie der Zweite Spalten. Daraus folgt, dass man eine Matrix immer dann mit sich selbst multiplizieren kann, wenn sie quadratisch ist. Da für quadratische Matrizen dieselben Gesetze gelten wie bei der Potenzrechnung mit Zahlen kann man sagen:

$A m + n = A m + A n$

Bei den Matrizen ist noch ein Sonderfall zu beachten, die Einheitsmatrix für die gilt:

$E A = A$ und auch $A E = A$

Dieser Umstand gilt übrigens nicht nur für quadratische Matrizen, sondern immer dann, wenn das Format von A eine Multiplikation erlaubt.

Ein weiterer Sonderfall ist die inverse Matrix: $A - 1$ ist die inverse Matrix zu A. Mann kann auch sagen A und $A - 1$ sind invers zueinander Beispiel:

$\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\end{pmatrix}*\begin{pmatrix} -2 & 1\\ \frac{3}{2} & \frac{-1}{2}\end{pmatrix}=\frac{1}{2}*\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\end{pmatrix}*\begin{pmatrix} -4& 2\\ 3 & -1\end{pmatrix}=\frac{1}{2}*\begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}$

Dies gilt allerdings nur für quadratische Matrizen. Haben quadratische Matrizen eine inverse Matrix, dann werden sie als invertierbar oder regulär bezeichnet. Sonst heißen sie nicht-invertierbar oder singulär. Das Produkt invertierbarer Matrizen ist selbst invertierbar. Für inverse Matrizen gilt somit:

$A A - 1 = E$

und

$(A B) - 1 = B - 1 A - 1$

Der Tatsache, ob eine quadratische Matrix invertierbar ist und ob es einen inverse Matrix gibt, kann man mit Hilfe einer Variante des Gaußschen Algorithmus herausfinden. Dazu stellt man die Matrix A der Einheitsmatrix gegenüber und trennt die beiden durch einen senkrechten Strich. Dann werden Umformungen auf die beiden Blöcke angewendet. Ziel ist es die linke Seite auf Zeilenstufenform zu bringen. Auch wenn man nur die linke Hälfte betrachtet, muss man die Umformungen jedoch auf beide Matrizen anwenden. Beispiel:

$\begin{pmatrix} 0 & 1 & -4 & \mid & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & -1 & \mid & 0 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 2 & \mid & 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & \mid & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -4 & \mid & 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 2 & \mid & 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & \mid & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -4 & \mid & 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 3 & \mid & 0 & -1 & 1\end{pmatrix}$

$\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & \mid & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -4 & \mid & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & \mid & 1 & -1 & 1\end{pmatrix}$

Nun werden zwei Fälle unterschieden:

1.Auf der Hauptdiagonalen steht mindestens eine Null $\rightarrow$ A nicht invertierbar

2.Auf der Hauptdiagonalen steht 1,1,-1 $\rightarrow$ A ist invertierbar

Tritt der zweite Fall ein, ändert man die linke Seite in eine Einheitsmatrix, die geschieht durch Addition eines passenden Vielfachen der letzten Zeile. Am Ende stehen dann in der letzten Spalte, bis auf die letzte Komponente, nur noch Nullen stehen.

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