Mittelwert

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Inhaltsverzeichnis

1 Arithmetisches Mittel
2 Gewichtetes arithmetisches Mittel
3 Gewogenes arithmetisches Mittel
4 Geometrisches Mittel

Arithmetisches Mittel

Das arithmetische Mittel von n Zahlen berechnet sich folgendermaßen:

$\bar x = \frac {x_1 + x_2 + ... + x_n} {n} = \frac {1} {n} \sum_{i=1}^n x_i$

Die Berechnung vereinfacht sich, wenn Zahlenwerte mehrfach auftreten. Die Zahlenwerte werden dann mit der Häufigkeit H ihres Auftretens multipliziert:

$\bar x = \frac {H_1 x_1 + H_2 x_2 + ... + H_k x_k} {n} = \frac {1} {n} \sum_{i=1}^k H_i x_i = \sum_{i=1}^k h_i x_i$

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Gewichtetes arithmetisches Mittel

Das arithmetische Mittel wird verwendet, wenn für Werte x_i unterschiedliche "Gewichte" w_ivorliegen (z.B. die Note "Eins" wird von mehreren Studenten in einer Prüfung erzielt):

$\bar x = \frac {w_1 x_1 + w_2 x_2 + ... + w_k x_k} {w_1 + w_2 + ... + w_k} = \frac {\sum_{} w_i x_i} {\sum_{} w_i} = \sum_{} w_i^rel x_i$

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Gewogenes arithmetisches Mittel

Wenn mehrere Messreihen oder Stichproben für dasselbe Merkmal vorliegen, wird das gewogene arithmetische Mittel herangezogen.

Es liegen k Messreihen vor. Umfang dieser Messreihen seien n1, n2,...,nk, ihre jeweiligen Mittelwerte seien x₁, x₂,...,x_k

$\bar x_gew = \frac {n_1 \bar x_1 + n_2 \bar x_2 + ... + n_k \bar x_k} {n_1 + n_2 + ... + n_k} = \frac {\sum_{} n_i x_i} {\sum_{} n_i}$

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Geometrisches Mittel

Der Name geometrisches Mittel kommt von der Berechnung der Seitenlänge eines Quadrates, wenn die Seitenlängen eines (zum Quadrat flächengleichen) Rechtecks vorgegeben sind. Das geometrische Mittel wird vor allem bei Wachstumsraten verwendet.

Das geometrische Mittel von n Zahlen x₁ ... x_n lautet:

$g = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot ... \cdot x_n} = \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n x_i}$