Spieltheorie
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Die Spieltheorie (engl. game theory) Die Spieltheorie ist ein Teilgebiet der Mathematik, von Operations Research und der Wirtschaftswissenschaften. Sie beschäftigt sich mit der Analyse von Handlungsstrategien in Systemen mit vorgegebenen Regeln ("Spielen"). Dazu untersucht die Spieltheorie vorhergesagtes und tatsächliches Verhalten von Akteuren in Spielen und leitet optimale Strategien her.
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Entscheidungstheoretische Grundlagen
Die Spieltheorie kann als ein Teilgebiet der Entscheidungstheorie aufgefasst werden. Immer dann, wenn Entscheidungen gefällt werden müssen, ohne das Angaben über die Warscheinlichkeit des Eintreffens von Ereignissen vorliegen, werden andere Kriterien herangezogen.
Man unterscheidet drei Arten von Entscheidungssituationen:
Entscheidungen unter Gewissheit: Die Ereignisse werden als determiniert vorausgesetzt, d.h. es besteht weitgehende Sicherheit.
Eintscheidung unter Risko: Der Entscheidende kann Wahrscheinlichkeiten für das Eintreffen von Ereignissen angeben,
so dass der Erwartungswert bestimmt werden kann.
Entscheidungen unter Ungewissheit: Dem Entscheidenden liegen keinerlei Eintreffswahrscheinlichkeiten für Ereignisse vor.
Einführung in Matrixspiele
Ein Matrixspiel ist ein endliches Zweipersonen-Nullsummenspiel in Normalform.
Durch eine Matrix A ist ein Spiel folgendermaßen definiert:
- Es gibt zwei Spieler R und C.
- Es Spielzug besteht darin, dass R(Row) eine Zeile und C (Column) eine Spalte von A auswählt.
- Ist das durch Zeilen- und Spaltenauswahl definierte Element von A positiv, so erhält R von C den entsprechenden Betrag, ist es negativ, so zahlt R den Betrag an C.
Beispiel
Spielt R stets die erste Zeile, um den Betrag 3 oder 4 zu gewinnen, so kann C die zweite Spalte spielen und gewinnt somit den Betrag 1. Spielt jedoch C immer die zweite Spalte, so kann R die zweite Zeile spielen und somit gewinnt R den Betrag 1.
| 3 | 1 | 4 |
| 1 | 1 | 2 |
Bei diesem Matrixspiel ist es für beide Spieler von Nachteil immer die Gleiche Zeile bzw. Spalte auszuwählen, da der andere Spieler die zu seinem Vorteil ausnutzen kann.
Strategien
Unter einer Strategie für R in einem Matrixspiel vertehen wir eine Entscheidung von R, die verschiedene Zeilen mit vorgegebenen Warscheinlichkeiten zu spielen, also Zeile 1 mit Wahrscheinlichkeit p1, Zeile 2 mit Wahrscheinlichkeit p2, ... Formal lässt sich also eine Strategie darstellen durch den Wahrschreinlichkeitsvektor p=(p1, p2,..., pk). Besitzt das Matrixspiel etwas 2 Zeilen und wirft R eine Münze, um sich für eine dieser Zeilen zu entscheiden, so ist seine Strategie der Wahrschneinlichtkeitsvektor
.
Genauso verstehen wir unter einer Strategie für C eine Entscheidung, die einzelnen Spalten mit vorgegebenen Wahrscheinlichkeiten zu spielen, etwas Spalte 1 mit Wahrscheinlichkeit q1, Spalte 2 mit Wahrscheinlichkeit q2,... Formal ergibt sich als Strategie für C der Wahrscheinlichkeitsvektor q = (q1,q2,...,qm)
Eine Startegie, die in einer Komponente 1 stehen hat (und damit sonst 0), d.h. bei der R dauernd eine gegebene Zeile bzw. C eine gegebene Spalte spielt, heißt reine Strategie; jede andere Stratgie heißt gemischte Strategie.
Streng determinierte Spiele
Ein Matrixspiel heißt streng determiniert, wenn die Matrix ein Element besitzt, das gleichzeitig Zeilenminimum und Spaltenmaximum ist; ein solches Element heißt Sattelpunkt.
Es gilt folgender Satz: Es sei a ein Sattelpunkt eines streng determinierten Matrixspiels. Dann ist es eine optimale Strategie für R, stets die Zeile zu spielen, die a enthält; eine optimale Strategie für C ist es, stets die Spalte zu spielen, die a enthält. a wird als der Wert des Spiels bezeichnet.
Bei einem streng determinierten Spiel ist also für beide Spieler eine reine Strategie die optimale Strategie.
Gilt a = 0, so nennen wir das Spiel fair.
Gilt a > 0, so ist das Spiel günstig für den Zeilenspieler R.
Gilt a < 0, so ist das Spiel günstig für den Spaltenspieler C.
Rezessive Zeilen und Spalten
Enthält die Matrix A eine Zeile ri und eine Zeile rj mit ri rj (d.h. jedes Element der Zeile ri ist kleiner oder gleich dem entsprechenden Element von rj), so wird der Spieler R es stets vorziehen die Zeile rj zu spielen, weil ihm bei jedem Spielzug derselbe oder ein größerer Gewinn garantiert ist. r_i wird als rezessive Zeile bezeichnet, die von rj dominiert wird.
Zusammenfassung
Zur Bestimmung der Lösung eines Matrixbeisspiels gehen wir wie folgt vor:
- Wir untersuchen, ob das Spiel streng determiniert ist.
- Wir eliminieren alle rezessiven Zeilen und Spalten
- Ergibt sich ein 2x2-Spiel, so gehen wir gem. Kapitel 2x2-Matrixspiele vor.
- In den restlichen Fällen kann man das Simplex-Verfahren anwenden.
Die unter 4. aufgeführten Lösungsmethoden werden an dieser Stelle nicht näher dargelegt
Weblinks
Es besteht bereits ein sehr guter CBT an der FH Würzburg-Schweinfurt der die Spieltheorie behandelt.
