Stellenwertsystem

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1 Stellenwertsysteme

Stellenwertsysteme

Ein Stellenwertsystem, ist ein Zahlensystem bei dem die Bedeutung einer Ziffer von deren Stellung innerhalb der geschriebenen Zahl abhängt. Diese Systeme kommen mit einer geringen Zahl von Symbolen (Zahlen/Ziffern) aus. Stellenwertsysteme haben eine Basis b, welche die Anzahl der verwendeten Symbole angibt. Wobei die Basis b > 1 sein muss. Die wichtigsten Stellenwertsysteme sind das Dual, Oktal, Hexadezimal und das Dezimalsystem.

Wenn die Basis b eine Element der natürlichen Zahlen ist und b größer als 1, lässt sich jede Zahl n wie folgt darstellen:

$n = a k * b k + a k - 1 * b k - 1 + ... + a 1 * b + a 0$

wobei alle Werte von $a k$ bis $a 0$ Element von {0,1,…b-1} sein müssen und $a k$ darf nicht 0 sein.

Falls die Basis b größer 10 sein sollte werden die Zahlen ab 9 durch Großbuchstaben ersetzt, beispielsweise: 10 = A, 11 = B,…

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Umrechnen von Dezimalzahlen

Man nimmt die Dezimalzahl, die man umrechnen will, und teilt sie durch die Basis b des Zahlensystems, in das man umrechnen will. Den Rest der Division notiert man sich als Ziffer und das Divisionsergebnis teilt man erneut durch die Basis b. Die einzelnen Ziffern notiert man sich dann von rechts nach links. Dies setzt man so lange fort, bis man am Ende als Divisionsergebnis die 0 erhält.

Beispiel

Die Zahl 23 wird vom Dezimal ins Dualsystem umgewandelt, also ist die Basis b = 2.

23 : 2 = 11 Rest 1, also ist die 1 die erste Zahl von Rechts.

11 : 2 = 5 Rest 1, 1 ist die zweite Zahl von Rechts.

5 : 2 = 2 Rest 1, 1 ist die dritte Zahl.

2 : 2 = 1 Rest 0, die 4te Zahl ist eine 0.

1 : 2 = 0 Rest 1, da das Divisionsergebnis 0 ist, ist die Berechnung zu Ende. Die fünfte Stelle ist eine 1.

Als Endergebnis erhält man die Dualzahl 10111.

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Rechnen mit Stellenwertsystemen

Mit Zahlen , die zur Basis b dargestellt sind, kann man genauso Rechnen wie mit Dezimalzahlen, wenn man in den Rechnungen die Rolle der Basis 10 durch die allgemeine Basis b ersetzt.

Beispiele