Wahrscheinlichkeit

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Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit ist ein Maß für Unsicherheit. Der Begriff Wahrscheinlichkeit ist eng verbunden mit Vorgängen, deren Ergebnis zufallsabhängig ist, also nicht mit Sicherheit vorausgesagt werden kann. Solche Vorgänge nennt man Zufallsexperimente. Ein Zufallsexperiment ist ein (prinzipiell) beliebig oft wiederholbarer Vorgang. Die Menge S (in der Literatur meist Ω) seiner möglichen Ergebnisse heißt Ergebnismenge.

Beispiel:

Das Zufallsexperiment „Einmaliger Würfelwurf“ hat die Ergebnismenge S={1,2,...,6}.

Oft interessieren aber nicht diese (Elementar-)Ergebnisse, sondern vielmehr ein Teilmenge E davon, beispielsweise „Werfen einer geraden Augenzahl“.

Solche Mengen von Ergebnissen heißen Ereignis. Im Beispiel tritt das Ereignis „gerade Augenzahl“ G={2,4,6} ein, wenn entweder eine 2,4 oder 6 geworfen wird.

Intuitiv wird man vermuten, dass das Ereignis G mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% eintritt, sofern der Würfel ‚fair’ ist, d.h. jede Augenzahl mit der gleichen Wahrscheinlichkeit als Ergebnis auftritt.

Genau das ist auch die Wahrscheinlichkeitsdefinition von Laplace:

, wobei

g = Anzahl günstiger Ergebnisse für das Eintreten des Ereignis E,

m = Anzahl aller (gleichmöglichen) Ergebnisse

Häufig versagt die Laplace-Definition, z.B. wenn es nicht möglich ist, ein Zufallsexperiment in gleichwahrscheinliche Ergebnisse zu unterteilen. Eine wissenschaftlich einwandfreie Wahrscheinlichkeitsdefinition liefert das Axiomensystem von Kolmogorov.

Aus diesem lassen sich weitere wichtige Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten herleiten, beispielsweise der Additionssatz und der Multiplikationssatz, sowie die Begriffe bedingte Wahrscheinlichkeit, die stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen, die totale Wahrscheinlichkeit und die Formel von Bayes.