Wahrscheinlichkeitsverteilungen

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Unter Wahrscheinlichkeitsverteilung versteht man die Verteilung von Wahrscheinlichkeiten auf die möglichen Zufallsergebnisse. Im Folgenden werden die wichtigsten Wahrscheinlichkeitsverteilungen vorgestellt.

Inhaltsverzeichnis

1 Binomialverteilungen
2 Hypergeometrische Verteilung
3 Normalverteilung
4 Standardnormalverteilung

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Binomialverteilungen

Wenn die Ergebnisse eines Zufallsexperiments in zwei Ereignisse A und B = \bar A zusammengefasst werden können, gilt für die Wahrscheinlichkeit der Ereignisse

$P(B) = P(\bar A ) = 1- P(A) = 1 - p = q$

Ändert sich die Wahrscheinlichkeit dieser beiden Ereignisse nicht, eignet sich die Verwendung der Binomialverteilung oder auch Bernoulli-Verteilung, bzw. binomische Verteilung:

$P(x) = \frac {n!}{x! \cdot (n - x)!} \cdot p^x \cdot q^{n - x} = {n \choose x} \cdot p^x \cdot q^{n - x}$

Für die binomische Verteilung gilt:

Erwartungswert: $\mu = n \cdot p$

Standardabweichung: $\sigma = \sqrt{npq} = \sqrt{np(1 - p)}$

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Hypergeometrische Verteilung

Wenn die Ergebnisse eines Zufallsexperiment in zwei Ereignisse $A$ und $B = \bar A$ zusammengefasst werden können, gilt für die Wahrscheinlichkeit der Ereignisse

$P(B) = P(\bar A ) = 1- P(A) = 1 - p = q$

Im Gegensatz zur Binomialverteilung ändert sich in der Praxis die Wahrscheinlichkeit der Ereignisse A und B. In einem solchen Fall sollte die hypergometrische Verteilung eingesetzt werden.

Formel für die hypergeometrische Verteilung:

$P(x) = \frac {{{g \choose x}}{{m - g} \choose {n - k}}}{{m \choose n}}$

Die Berechnung der hypergeometrsichen Verteilung kann oft sehr aufwendig sein. Mit Hilfe des Zentralen Grenzwertsatzes versucht man daher durch eine binomische Verteilung hinreichend anzunähern.

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Normalverteilung

Unter der Normalverteilung versteht man eine Wahrscheinlichkeitsverteilung mit Mittelwert $μ$ , der Standardabweichung $σ$ und der Dichtefunktion

$f_N (x) = \frac {1}{\sqrt{2\pi} \sigma} e^{- \frac{1}{2} \left(\frac{x - \mu}{\sigma} \right)^2}$

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Standardnormalverteilung

Ein Sonderfall der Normalverteilung ist die Standardnormalverteilung. Die Standardnormalverteilung ergibt sich mit dem Mittelwert $μ$ = 0, der Standardabweichung $σ$ = 1 und der Dichtefunktion

$\varphi (x) = \frac {1}{\sqrt{2 \pi}} e^{- \frac{x^2}{2}}$